Análisis Matemático I - Series y Sucesiones

INTRODUCCION HISTÓRICA

Hace 2.400 años, el filósofo griego Zenón de Elea (495 - 435 A.C.), precipitó una crisis en la Matemática antigua estableciendo algunas paradojas ingeniosas.

Una de ellas, llamada frecuentemente "la paradoja del corredor" se puede exponer de la siguiente manera:

Un corredor no puede alcanzar la meta porque siempre ha de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. Es decir, cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá que correr la otra mitad.

Cuando haya recorrido la mitad de ésta, le quedará todavía la cuarta parte, cuando haya corrido la mitad de esta cuarta parte, le quedará la octava parte y así sucesivamente e indefinidamente.

Zenón pensó, evidentemente, en una situación ideal en la que el corredor es una partícula o punto que se mueve de un extremo a otro de un segmento de recta. Para analizar el razonamiento de Zenón con mas detalle se supone que el corredor parte del punto marcado 1 y corre hacia la meta marcada con 0, las posiciones indicadas por números fraccionarios (1/2 , 1/4 , 1/8 , …, etc.), señalan la fracción de carrera que se ha de correr todavía cuando se alcanza el punto marcado.

Estas fracciones (cada una de las cuales es la mitad de la anterior) subdividen todo el trayecto en un número indefinido de partes cada ves mas pequeña. Puesto que para recorrer por separado cada una de estas partes se necesita una cantidad positiva de tiempo, parece natural afirmar que el tiempo necesario para el trayecto total ha de ser la suma total de todas las cantidades de tiempo. Decir que el corredor nunca puede alcanzar la meta equivale a decir que nunca llega a ella en un tiempo finito; dicho de otro modo, que la suma de un número infinito de intervalos positivos de tiempo no pude ser finita.

La afirmación de Zenón de que un número ilimitado de cantidades positivas no puede tener una suma finita, fue contradicha 2.000 años mas tarde con la creación de la teoría de las series infinitas. En los siglos XVII y XVIII algunos matemáticos empezaron a pensar que era posible extender la idea de suma ordinaria de conjuntos finitos de números a conjuntos infinitos, de manera que en algunos casos la suma de un conjunto infinito de números sea finita. Para ver cómo se puede hacer esta extensión y tener una idea de las dificultades que pueden presentarse para ello, conviene analizar la paradoja de Zenón con mas detalle.

SUCESIONES

En el lenguaje corriente las palabras "serie" y "sucesión" son sinónimas y se utilizan para designar un conjunto de cosas o sucesos dispuestos en un orden.

Sucesión: es la colección de números que siguen una regularidad definida. una sucesión de números se simboliza con una letra minúscula y un subíndice "n" encerrado entre paréntesis, como veremos mas adelante, y cada componente de esa sucesión se simboliza de la misma manera pero con otro subíndice; que indicaría un valor numérico de ordenamiento.

En Matemática, estas palabras tienen un significado técnico especial. La palabra "sucesión" tiene un sentido análogo al del lenguaje corriente, pues con ella se quiere indicar un conjunto de objetos puestos en orden, pero la palabra "serie" se usa en un sentido completamente distinto. 

Cada término de la sucesión tiene asignado un entero positivo, de manera que se puede hablar del primer término con la letra "a" con subíndice "1", del segundo término con la misma letra pero con subíndice "2", y en general del término enésimo "n" con la letra a con subíndice "n". Así cada término enésimo tiene un siguiente "n+1" y por lo tanto no ay un último término.

La forma mas corriente de definir una serie está dada por una regla o fórmula que defina el término enésimo, por ejemplo:

Este método particular de buscar una fórmula que rija una sucesión, se conoce como "Fórmula de Recurrencia" y define una sucesión famosa llamada "Fibonacci", llamada así por

Leonardo de Pisa (1175 - 1240), que entre todos los apodos que tenía, todos lo conocen como Fibonacci. Descubrió una recurrencia de números que rigen en la naturaleza del universo.

La Sucesión de Fibonacci en la Naturaleza

(Fibonacci, encontró esta sucesión al tratar un problema relativo a los procesos hereditarios en los conejos.)

En toda sucesión lo esencial es que existe una función "f" definida en los enteros positivos, tal que "f(n)" es el término enésimo de la sucesión para cada n = 1, 2, 3, … Efectivamente, éste es el camino mas conveniente para establecer una definición técnica de sucesión.

Sucesión: es una función f cuyo dominio es el conjunto de todos los enteros positivos: 1, 2, 3, … se denomina sucesión infinita. El valor f(n) de la sucesión se denomina el término enésimo de la sucesión.

El recorrido de la función (es decir, el conjunto de valores de la función) se pone muchas veces de manifiesto, escribiendo los términos en orden de esta manera:

f(1), f(2), f(3), … f(n)

Por razones de brevedad se utiliza la notación f(n) para indicar la sucesión cuyo término enésimo en f(n). Con mucha frecuencia la dependencia de "n" se indica utilizando subíndices de "n" a letras minúsculas (notación análoga en vez de f(n)).

La cuestión que se quiere considerar, es decidir si los términos f(n) tienden o no a un límite finito cuando "n" crece indefinidamente. Para ello, se precisa extender el concepto de límite a las sucesiones, lo que se logra con la definición siguiente:

Una sucesión f(n) tiene límite L si, para cada número positivo existe otro número positivo.

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