Analisis Matemático I - Topología
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
Es curioso que la mayoría de los temas que nos introducirán en el estudio de las sucesiones, funciones y series se gestaron desde los tiempos de los babilonios y helenos.
Que en general hubo que esperar hasta el siglo XVIII para que se diera una indiscutible revolución matemática en estos temas. Pero lo verdaderamente llamativo es que muchos profesores en la actualidad, olvidan al querer comunicar o enseñar estos temas, su origen e historia. Comienzos que devinieron de la teoría de números, de las ecuaciones y de la geometría euclidiana.
De acuerdo con esta premisa es imperioso que el lector preste atención a que lo artificioso que pueden parecer los temas que se desarrollarán en los capítulos siguientes vienen a dar respuesta a preguntas matemáticas que la humanidad se hizo hace mas de 2.500 años.
El origen del Cálculo Integral se remonta a mas de 2.000 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área ideando el procedimiento que llamaron "método de exhaución". Las ideas esenciales de este método son realmente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada una región cuya área quiere determinarse, se inscribe en ella una región poligonal que se aproxime a la dada y cuya área sea de fácil calculo. Luego se elige otra región poligonal que dé una aproximación mejor y se continúa el proceso tomando polígonos con mayor numero de lados cada vez, tendiendo a llenar la región dada.
Este método fue usado satisfactoriamente por Arquímedes (287 - 212 A.C.), para hallar fórmulas exactas de las áreas del círculo y de algunas otras figuras especiales.
Desde Arquímedes, el desarrollo del método de exhaución tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de símbolos y técnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios matemáticos. El álgebra elemental que hoy día es familiar a la mayoría de los alumnos de los últimos cursos de enseñanza secundaria, era totalmente desconocida en tiempos de Arquímedes, lo que hacía imposible extender el método a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada de poder expresar los largos cálculos en forma simplificada.
Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemáticas, empezó en el siglo XVI D.C.. El engorroso sistema de numeración romano fue desplazado gradualmente por los caracteres arábigos utilizados hoy día; los signos + (mas) y - (menos) fueron introducidos por primera vez, y se empezaron a reconocer las ventajas de la notación decimal. Durante ese mismo período, los brillantes resultados de los matemáticos italianos Tartaglia [Niccolò Fontana] (1499 - 1557), Gerolamo Cardano (1501 - 1576) y Gaudenzio Ferrari (1480 - 1546) que dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cúbica y cuártica, estimuló el desarrollo de la Matemática y animó a la aceptación del lenguaje algebraico nuevo y superior. Con la introducción muy extendida de los bien elegidos símbolos algebraicos, revivió el interés por el antiguo método de exhaución y en el siglo XVI descubrieron múltiples resultados parciales, los que como Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647), Evangelista Torricelli (1608 - 1647), Gilles Personne de Roberval (1602 - 1675), Pierre de Fermat (1601 - 1665), Blaise Pascal (1623 - 1662) y John Wallis (1616 - 1703) fueron pioneros.
Gradualmente, el método de exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce como "Cálculo Integral", nueva y potente disciplina que tiene numerosísimas aplicaciones no solo en problemas relativos a áreas y volúmenes, sino también en problemas de otras ciencias. Este método, que mantiene alguno de los caracteres originales del método de exhaución, recibió su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716), y su desarrollo continuó durante el siglo XIX, hasta que Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) y Bernhard Riemann (1826 - 1866) le dieron una base matemática firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teoría han llegado hasta la Matemática Contemporánea.
El origen del Cálculo Integral se remonta a mas de 2.000 años, cuando los griegos intentaban resolver el problema del área ideando el procedimiento que llamaron "método de exhaución". Las ideas esenciales de este método son realmente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada una región cuya área quiere determinarse, se inscribe en ella una región poligonal que se aproxime a la dada y cuya área sea de fácil calculo. Luego se elige otra región poligonal que dé una aproximación mejor y se continúa el proceso tomando polígonos con mayor numero de lados cada vez, tendiendo a llenar la región dada.
Desde Arquímedes, el desarrollo del método de exhaución tuvo que esperar casi 18 siglos, hasta que el uso de símbolos y técnicas algebraicas se hizo preciso en los estudios matemáticos. El álgebra elemental que hoy día es familiar a la mayoría de los alumnos de los últimos cursos de enseñanza secundaria, era totalmente desconocida en tiempos de Arquímedes, lo que hacía imposible extender el método a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada de poder expresar los largos cálculos en forma simplificada.
Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones matemáticas, empezó en el siglo XVI D.C.. El engorroso sistema de numeración romano fue desplazado gradualmente por los caracteres arábigos utilizados hoy día; los signos + (mas) y - (menos) fueron introducidos por primera vez, y se empezaron a reconocer las ventajas de la notación decimal. Durante ese mismo período, los brillantes resultados de los matemáticos italianos Tartaglia [Niccolò Fontana] (1499 - 1557), Gerolamo Cardano (1501 - 1576) y Gaudenzio Ferrari (1480 - 1546) que dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cúbica y cuártica, estimuló el desarrollo de la Matemática y animó a la aceptación del lenguaje algebraico nuevo y superior. Con la introducción muy extendida de los bien elegidos símbolos algebraicos, revivió el interés por el antiguo método de exhaución y en el siglo XVI descubrieron múltiples resultados parciales, los que como Bonaventura Francesco Cavalieri (1598 - 1647), Evangelista Torricelli (1608 - 1647), Gilles Personne de Roberval (1602 - 1675), Pierre de Fermat (1601 - 1665), Blaise Pascal (1623 - 1662) y John Wallis (1616 - 1703) fueron pioneros.
Gradualmente, el método de exhaución fue transformándose en lo que hoy se conoce como "Cálculo Integral", nueva y potente disciplina que tiene numerosísimas aplicaciones no solo en problemas relativos a áreas y volúmenes, sino también en problemas de otras ciencias. Este método, que mantiene alguno de los caracteres originales del método de exhaución, recibió su mayor impulso en el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642 - 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716), y su desarrollo continuó durante el siglo XIX, hasta que Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) y Bernhard Riemann (1826 - 1866) le dieron una base matemática firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teoría han llegado hasta la Matemática Contemporánea.
TOPOLOGIA
El término "Topología" (del griego "topo": espacio, "logía": estudio), se utiliza para identificar a un área de la matemática que estudia la continuidad y otros conceptos originados a partir de ella.La topología está vinculada a las propiedades y características que poseen los cuerpos geométricos y que se mantienen sin alteraciones gracias a cambios continuos, con independencia de su tamaño o apariencia.
Espacio topológico: es una estructura matemática que permite definir de manera formal a la continuidad, conectividad y convergencia.
En esta entrada veremos únicamente a los espacios métricos, para luego definir intervalos abierto y cerrado, entorno, y de esta manera poder desarrollar las ideas de punto interior, exterior, frontera de acumulación, adherente y aislado.
DEFINICIONES
Espacios métricos: se define como métrica o distancia métrica al conjunto de puntos en los que está definido la noción de distancia entre puntos. Podemos usar la función de distancia o métrica para definir los conceptos fundamentales del análisis, tales como convergencia, continuidad.
Hay que aprenderse la simbología lógico-matemática para poder leer las diferentes funciones y conectivas, por lo que los ejemplos anteriores se leen de la siguiente manera:
i) La distancia entre los puntos "x" e "y" es mayor o igual a cero, tal que para todo "x", "y" pertenece al espacio métrico, y la distancia entre esos dos puntos es igual a cero tal que "x" es igual a "y".
ii) La distancia entre el punto "x" y la distancia entre el punto "y" es igual a la distancia entre el punto "y" y el punto "x", tal que para todo "x", "y" pertenece al espacio métrico.
iii) La distancia entre el punto "x" y el punto "z" es menor o igual a la suma de las distancia entre el punto "x" y el punto "y" y la distancia entre el punto "y" y el punto "z", tal que para todo "x", para todo "y" y para todo "z" pertenecen al espacio métrico.
Si "x" e "y" son números reales, pude pensarse al número real no negativo como el módulo de la resta entre "x" e "y", como I x-y I ó I y-x I, a pesar que las diferentes restas pueden ser números negativos o positivos, cuando hablamos de módulo, nos referimos a la distancia entre un punto y otro sin importar el signo, o sea que las distancias propiamente dichas no poseen signos, sino que el modulo o la distancia entre dos puntos nos esta diciendo donde esta el principio y donde el final de nuestro espacio métrico.
Por lo tanto podemos definir al espacio métrico de esta manera:
Se denomina "espacio métrico" a un par (A,d) siendo A un conjunto y d una distancia definida en ese mismo conjunto. Se debe tener presente que un espacio métrico consta de un conjunto que hace de soporte (A) y una distancia (d) que permite establecer su existencia u unicidad. Si se modifica cualquiera de estos componentes queda inmediatamente cambiado el espacio métrico.
Centro: es el punto medio del espacio métrico definido. Por ejemplo, la distancia entre 4 y 10 es de 6,( l 10-4 l = 6 , l 4-10 l = -6 , por lo tanto distancia = 6 ), la mitad de 6 es 3 por lo que resulta que 3 es el centro de dicha distancia.
Radio: es el espacio métrico definido entre el centro y un tope del espacio métrico original. En el caso anterior, si la distancia era de 6 y su centro es 3, la distancia "radio" es igual a 3.
Intervalo: dado un conjunto, el intervalo indica un subconjunto de puntos definidos por un principio y un final. Por ejemplo: el conjunto de los números reales va desde el infinito negativo al infinito positivo, un intervalo posible, seria el intervalo entre -2 y 6. que con los elementos aprendidos hasta aquí podría decir que la distancia entre esos dos puntos es de 8, su centro es de 4, y por lo tanto su radio es de 4.
Intervalo Abierto: es el conjunto de puntos definido, cuyo principio y fin no están incluidos en la función del conjunto, se simboliza el intervalo abierto, encerrando a los topes del conjunto entre paréntesis. En el caso anterior, si el intervalo es de -2 y 6, se simboliza de la siguiente manera: (-2;6).
Intervalo Cerrado: es el conjunto de puntos definido, cuyo principio y fin están incluidos en la función del conjunto, se simboliza el intervalo cerrado, encerrando los topes del conjunto entre corchetes. En el caso anterior, si el intervalo es de -2 y 6, se simboliza de la siguiente manera: [-2;6].
Conjunto Mayorante: es el conjunto de puntos por fuera del intervalo.
Entorno: es la denominación de un intervalo que tiene establecido su centro y su radio.
Entorno Perforado: es el intervalo definido cuyo centro no corresponde al intervalo, sino que forma parte del conjunto mayorante.
Cotas: son los topes de un intervalo. Existiendo una cota inferior y una cota superior de un intervalo.
Ínfimo de un intervalo: es la mayor de todas las cotas inferiores.
Supremo de un intervalo: es el menor de todas las cotas superiores.
Extremos: son los topes definidos en un intervalo cerrado. Ejemplo: en el intervalo cerrado [-2;6], "-2" corresponde a la cota inferior, denominada ínfimo, y "6" corresponde a la cota superior, denominada supremo. Este ínfimo y supremo son extremos de un intervalo cerrado, y utilizamos el término "extremos" a los topes de un intervalo que están incluidos en la función del conjunto definido. Por lo tanto, diremos que un intervalo tiene extremos cuando sus topes están incluidos en el intervalo.
Máximo y Mínimo: son los topes de un intervalo abierto. Ejemplo: en el intervalo abierto (-2;6), "-2" corresponde a la cota inferior, denominada "mínimo" si esta cota pertenece a un intervalo abierto, y "6" corresponde a la cota superior denominada "máximo" si esta cota pertenece a un intervalo abierto.
Puntos de Acumulación: es el conjunto de puntos que están definidos en una función.
Punto Aislado: es un punto especifico por fuera del intervalo principal, que forma parte de la función, que a demás este intervalo es un conjunto unitario (que tiene un solo elemento), su centro es el único elemento.
Ejercicios de Aplicación
Topología euclidiana en la recta real
A continuación te muestro como debes resolverlo:
Vemos que el conjunto solución por extensión es el conjunto "A" que esta formado por un intervalo abierto, con cota inferior "menos infinito" y cota superior "3". Según lo estudiado en topología, el mínimo es "menos infinito" y el máximo es "3", estos no están incluidos ( los infinitos siempre llevan paréntesis, y el 3 lleva paréntesis porque el sigo de la consigna dice menor, distinto seria si dijera menor e igual, pero no es el caso. Por lo tanto el conjunto solución de este intervalo son todos los valores de números reales desde el 3 positivo no incluido hasta el infinito negativo. En este tipo de intervalo no es posible identificar centro y radio.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Espero que haya resuelto las dudas de este tema tan contemporáneo y hayan disfrutado la lectura.
Si todavía no lo hiciste sígueme en el blog, a demás de comentar que te ha parecido este apunte.
No olvides de calificar esta entrada es las "Reacciones" que ves en el pie de pagina de la misma.
Si todavía no lo hiciste sígueme en el blog, a demás de comentar que te ha parecido este apunte.
No olvides de calificar esta entrada es las "Reacciones" que ves en el pie de pagina de la misma.
Comentarios
Publicar un comentario